Pot odds és várható érték

Eddig csak azt vizsgáltuk, hogy volt-e hívás, vagy nem, de a no-limit sajátossága miatt nagyon nagy hangsúly kerül a hívás méretezésére(betsizing). Ennek szemléltetésére tekintsük meg a következő pédlát:

♥K♥Q lapunk van az ♥A♣9♥5♦3 boardon 100 dolláros potra az ellenfelünk turnon allin megy ♣A ♦K lappal

A: 200 dollárral

B: 1 dollárral

A esetben egyértelmű dobás, B esetben meg call a helyes játék.

Míg az előző esetekben mindenki automatikusan meghozza a helyes döntést, de mi a helyzet a következő esetekben?

A: 20 dolláral

B: 40 dolláral

C: 60 dolláral

A döntés meghozásához az equitynket kell összehasonlítanunk azzal, hogy mekkora befektetéssel mennyit nyerhetünk

Ha befektetésünk nagyobb hozamot ígér, mint a kasszarészesedésünk, akkor megéri belevágni az üzletbe. Ellenkező esetben szálljunk ki a veszteséges vállalkozásból.

Vizsgáljuk meg az A esetet, ahol 120$-os kasszára(az alap kassza 100$ és ellenfelünk allin megy 20 dolláral) 20$-os befektetést kínál.

A tanult módon határozzuk meg az equitynket: 9 outunk van, szorozva kettővel: 18%=0.18. Az üzlet 20$-os befektetésből 140$-t kínál, így egységnyi nyereséget 20/140=0.142 ráfodítással érhetünk el. Ezt összevetve a részesedésünkkel láthatjuk, hogy az az érték nagyobb, ami az üzlet nyereségességét jelenti.(18%-os részesedést vehetünk ~14%-os áron)

Fogadási helyzetekben az utóbbi érték elnevezése banki esély (továbbiakban pot odds). Megmutatja, hogy mekkora befektetésre van szükségünk mekkora kassza esetleges megnyeréséért. Vagyis, ha a pot nagysága P, erre az ellenfél hívása(bet): B, akkor a pot odds: . Tehát ha az equitynk nagyobb, mint a pot odds akkor megéri játékban maradni, ellenkező esetben pedig a dobás lesz a jobb döntés.

GYAKORLATOK

1. Ellenfelünk allin megy $20-al a 10$-os kasszára. Határozzuk meg a pot odds használatával, hogy profitábilis e megadni!

2. Pluszos e megadni ellenfelünk $40-os allinjét a következő helyzetben?

3. Megéri-e megadni ellenfelünk allinjét a következő szituációban?

A pot odds használatával már meg tudjuk határozni, hogy egy hívás megadása számunkra nyereséges-e. Most nézzük meg, hogy egy hívás megadása (befektetés) hosszútávon számunkra mekkora nyereséget ígér, mekkora a várható értéke. Tegyük fel, hogy barátunk azt a fogadást kínálja, hogy dob egy hatoldalú dobókockával; ha hatost dob ad nekünk 100$-t, minden egyéb esetben $10-t kell fizetnünk. Eddigi ismereteink alapján már tudjuk, hogy a játék számunkra lesz nyereséges(PO=pot odds=10/100=0.1, E=equity=1/6=0.166, azaz E>PO).

A játéknak két kimenetele van; 1-5 ig dobunk és vesztünk 10$-t, aminek a bekövetkezési valószínűsége: 5/6, vagy 6-ost dobunk 1/6 valószínűséggel és nyerünk 100$-t. A játék várható értéke számunkra:

.

A várható érték(expected value, röviden: EV) a fogadási helyzetek legalapvetőbb eleme. Megmutatja, hogy ha az adott fogadást végtelen sokszor megismételnénk mekkora lenne a nyereségünk fogadásonként. Számolása:

EV=p1∙x1+p2∙x2+p3∙x3+..,

azaz az egyes kimenetelek értékének és azok bekövetkezési valószínűségeinek a szorzatösszege.(A pi-k jelölik az egyes esetek bekövetkezési valószínűségét, az xi-k pedig az egyes esetek „értékeit”.)

Vizsgáljuk meg egynullás ruletten egy a piros színre tett $100-os tét várható értékét. Kimenetek: piros lesz és nyerünk $100-t (az eset értéke), vagy fekete ill. nulla lesz és vesztünk $100-t. Az esetek bekövetkezésének valószínűsége: piros 18/37 (A 37 számból 18 piros), fekete vagy nulla: 19/37. Tehát a fogadás várható értéke:

.

(Látható hogy a ruletten megtett tetszőleges x értékű fogadás várható értéke -0.02x)

Számoljuk ki mekkora várható értéket ígér az előbbi pókeres példában a C) 60$-os hívás megadása a turnon. Láttuk, hogy 18%=0.18 az equitynk, aminek bekövetkezésekor 160$-t nyerünk. Ellenkező esetben 1-0.18=0.82 valószínűséggel pedig elveszítjük 60$-os megadásunkat.

EV(call 60$)=0.18*160$-0.82*60$=-20,4$.

Ezzel a megadással hosszútávon 20,4$-t fogunk veszíteni leosztásonként. Most már tudjuk, hogy a 20$-os hívás megadása nyereséges, míg a 60$-os hívás megadása veszteséges volt. Mi lehet a határ, amíg még megadhatjuk a tétet és honnantól lesz veszteséges?

Van egy érték, egy hívás méret aminek a megadása nulla várható értékkel bír, más szavakkal hosszútávon mindegy hogy megadjuk e vagy sem. Ennél kisebb hívásoknak a megadása fog pozitív várhatóértékkel bírni, azaz hosszútávon nyereséges lesz. Ezt az értéket x-el jelölve:

EV=0.18*(100+x)-0.82*x>0, rendezve 18>0.7x, 28,125>x. Ami azt jelenti, hogy 28,125$-nál kisebb hívások megadása lesz nyereséges.

Általánosan nézve, ha E equityvel rendelkezünk, a pot mérete P akkor B méretű hívás megadásának a várható értéke:

EV(call)=E*(P+B)+(1-E)*(-B),

mint hogy E valószínűséggel nyerünk (equity, az egyik kimenet bekövetkezési valószínűsége, mégpedig amikor nyerünk) és profitálunk P+B-t (a kimenet értéke), egyébként meg (1-E) valószínűséggel (a másik eset bekövetkezése) veszítjük el B méretű megadásunkat (tehát az eset értéke –B).

Pluszos megadásnál

EV(call)>0, E*(P+B)-(1-E)*B>0, rendezve:

E*(P+B)>B-E*B, E*P+2*E*B>B, E*(P+2B)>B,

E>B/(P+2B). Ami már egy ismerős képlet; bal oldalán az equityvel, jobb oldalán a pot oddsal (nyerés esetén P+2B méretű kasszát viszünk ki). Azaz innen is láthatjuk, hogy nyereséges megadás feltétele, hogy nagyobb equityvel rendelkezzünk, mint a kínált pot odds.

Határozzuk meg a call várható értékét a következő szituációban, ha ellenfelünk allin megy!

Ellenfelünk jelenleg nyerő kezet birtokol, nálunk van a draw, az outok meghatározásával kell kezdenünk. Flösre 9 outunk van, valamint nyerhetünk a 3 ásszal is. Ez 12 out összesen tehát E=12/44=0.27. A pot mérete $100, P=100 és B=65, így a képletbe behelyettesítve EV(call)=0.27*(100+65)+(1-0.27)*(-65)=-2.9. Ez azt jelenti, hogy a megadással -2.9$-t veszítünk.

Következő példában ellenfelünk a flopon megy allin $70 zsetonjával (stackjével). Itt is határozzuk meg a call várható értékét!

Az equityt ezúttal pokerstove programmal meghatározva:

E=0.28 adódik. P=100, B=70 értékeket helyettesítve:

E=0.28*(100+70)+(1-0.28)*(-70)=-2.8. Ezúttal 2.8$-t veszítünk a megadással.

GYAKORLATOK

4. Ellenfelünk 45$ stackjével megy allin a $100-os potra. EV(call)=?

5. Ellenfelünk itt is allint jelent. A pokerstove program használatával határozzuk meg a megadás várható értékét!

Figyeljük meg, hogy a várható érték, nyereségesség meghatározásánál csak a pot méretét, a megadandó hívás méretét és az equitynket vettük számításba, az hogy az addigi kassza hogy épült fel, mi mennyi pénzt tettünk bele sehol nem merült fel. Valóban a nyereségesség szempontjából lényegtelen, hogy addig mennyit invesztáltunk; a már betett összeg nem a miénk. Másképpen: a dobás várható értéke mindig nulla. EV(fold)=0.

A GYAKORLATOK MEGOLDÁSAI:

Móriczka és RaiseDave