Mi is az a szórás, és miért érdekes a pókerben?

A pókerben elért nyereséget BB/100 mértékegységben adjuk meg, ami a 100 leosztásonként megnyert (vagy elvesztett) átlagos big bet (nagy tét). Egy 2/4 dolláros asztalon a nagy tét 4 dollár.

Adva van egy játékos, aki hosszabb távon átlagosan 2 BB/100 teljesítményt nyújt. Ez azonban nem azt jelenti, hogy minden egyes alkalommal, amikor lejátszik 100 leosztást, pontosan 2 BB nyereséget fog elkönyvelni. Lesznek session-ök amikor 8 BB/100-at teljesít, és lesznek amikor valami miatt (rosszabb lapjárást fog ki, vagy jobbak az ellenfelek, vagy akár ő maga van rosszabb formában) -6 BB/100 lesz az eredménye. A szórás (standard deviation, SD) arról ad felvilágosítást, hogy hosszabb távon, jellemzően mekkora kilengésekre számíthat a játékos.

Kicsit részletesebben

Hogy megértsük a dolgot, vegyünk egy hétköznapi példát. Nézzük meg azt, hogy egy adott nagyvárosban a 30-40 közötti korosztálynak mekkora az átlagmagassága. Nyilván ki fog jönni egy átlagos magasság, mondjuk 172.3 cm. Ez persze nem jelenti azt, hogy kivétel nélkül mindenki pontosan ilyen magas. Ha azt ábrázolnánk, hogy az egyes magassági tartományokba (160-165, 165-170, 170-175 stb.) hányan tartoznak, akkor egy ilyesmi görbét fogunk kapni:

A vízszintes tengelyen vannak a magassági kategóriák, a függőlegesen pedig hogy melyikbe hány ember tartozik. Ez a görbe a haranggörbe vagy Gauss-görbe, ami egy ún. sűrűségfüggvény. A természetre általában jellemző ez az eloszlási mód. Ha ábrázoljuk egy adott napon egy adott városban az átlaghőmérsékletet, vagy hogy egy adott közösségben az emberek hány éves korukban vesztik el a szüzességüket, akkor valami ilyesmit fogunk eredményül kapni. Ez az ún. normális eloszlás.

(Vannak persze másféle eloszlások és sűrűségfüggvények is. Ha kockával dobunk és azt ábrázoljuk hogy hányszor volt 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 az eredmény, akkor egyenletes eloszlást kapunk, mert mindegyik eseménynek pontosan ugyanakkora a bekövetkezési valószínűsége. Ennek a görbének a körvonala egy “doboz” lesz.)

Mit mond nekünk a sűrűségfüggvény?

A haranggörbe alakja azt, hogy a legtöbben az átlag környéki magasságúak (ott van a csúcs), és minél jobban eltér a magasság az átlagtól annál kevesebben tartoznak oda (a szélek felé csökken). A görbe csúcspontjának a helye normális eloszlás esetén pontosan az átlagra esik.

A görbe “kövérsége” vagy “szélessége” megmondja, hogy mennyire nagy a szórás, azaz mennyire valószínű, hogy valakit találomra kiválasztva az az átlagtól nagyon eltérő magasságú lesz. Átlagos populációnál elég széles görbét kapunk. Profi kosárlabdajátékosokat nézve a görbe nem csak hogy jobbra (a magasabb kategóriák felé) eltolódik, de egyúttal sokkal keskenyebb is lesz – kevés a törpe termetű kosaras, de három méteresből sincs sok.

A képen látható görbe szimmetrikus. Ha nem az lenne, akkor a deformáció mértékét az ún. “skewness” jellemzővel lehetne leírni, ami a tökéletesen szimmetrikustól való eltérés mérőszáma.

A szórás a pókerben

Ha feltételezzük, hogy a pókerben az eredmények eloszlása normális eloszlást követ, akkor a szórás mondja meg, hogy mekkora kilengésekre számíthatunk.

Egy rock stílusú játékos esetén, aki kerüli a kockázatos helyzeteket, és csak a biztosra megy be, és csak ritkán (a nut lapokkal) emelget, annál a szórás kicsi lesz. Nem fog sokat veszteni, de nem is fog sokat nyerni.

Laza-aggresszívnél, mániákusnál a szórás nagy lesz. Hol nagyon sokat veszít, hol nagyon sokat nyer.

Egy feszes-aggresszív játékosnál a szórás valahol az előző kettő között várható. Többször és többet veszít mint a rock, de többször és többet is nyer annál.

Mint a példákból is látható, minél lazábban és minél aggresszívebben játszik valaki, elvileg annál nagyobb szórásra számíthat. A szórás ezen túlmenően az asztalnál ülő többi játékostól is függ: ha van egy mániákus, az pl. jelentősen megnöveli a szórást; az állandó emelgetése miatt vagy sokat nyerünk, vagy sokat vesztünk.

A Poker Tracker és a szórás

A Poker Tracker programban a szórást a következőképpen lehet megnézni:

Ring game statistics modul à Session notes lap à Katt a More detail gombra (jobbra felül).

A megjelenő lapon alul a „Standard Deviation/100 Hands” értéket kell nézni.

A szórást a következőképpen számolja a PT:

1. Kiszámolja az átlagos BB/100-at a teljes vizsgált időtartományra.

2. Felosztja a tartományt 100 leosztásos session-ökre. Minden egyes ilyen session esetében veszi az ott meghatározott BB/100 értéknek az 1. pontban kiszámolt átlagos BB/100-tól való eltérésének a négyzetét.

3. Ezeket a négyzeteket összeadja.

4. A kapott négyzetösszeget elosztja a session-ök száma mínusz 1-gyel

5. Végül ennek veszi a négyzetgyökét.

Ez a szórás kiszámításának az általános algoritmusa, a képlete:

SD = [S (x_i-A)²/(N-1)]^1/2

Ahol:

A: az átlag

N: a számosság

(Megjegyzés: előfordul, hogy N-1 helyett N–el osztanak, de ez kellően nagy mintaszámnál nem befolyásolja jelentősen a végeredményt.)

A jellemző szórás

A 2+2 fórumosok körében végzett felmérés azt mutatta, hogy a 9-10 fős asztalokon játszó limit játékosok körében az SD általában 15 BB/100, a shorthanded (5-6 fős) limitesek esetében pedig 16-17 BB/100.

A konfidencia intervallum  – mit várhatok a következő 100 leosztás során?

A gyakorlatban felmerülhetnek ilyen kérdések: ha találomra kiválasztunk egy embert, akkor az esetek 66%-ban milyen magassági tartományba fog esni? Hány éves csajokra kell ráhajtani, ha 99.7%-ig biztosak akarunk lenni abban, hogy kifogunk egy olyat, amelyik még szűz? A póker esetében, mekkora az a BB/100 tartomány, amibe az esetek 95%-ban bele fog esni a nyerésünk? Ezek az ún. konfidencia-intervallumok. A kifejezés szó szerint lefordítva megbízhatósági intervallumot jelent.

A konfidencia intervallumokat az átlag plusz/mínusz 1, 2 vagy 3 szórásra szokták meghatározni. Normális eloszlás esetén:

- 99.7% a valószínűsége annak, hogy egy eredmény az átlag +/- 3 SD tartományon belülre esik.

- 95% a valószínűsége annak, hogy egy eredmény az átlag +/- 2 SD tartományon belülre esik.

- 66% a valószínűsége annak, hogy egy eredmény az átlag +/- 1 SD tartományon belülre esik.

Például: ha 2 BB/100 a nyerési rátánk, és 15 az SD, akkor a következő 100-as session-ben 66% a valószínűsége annak, hogy a nyereményünk –13 (2-15) BB és 17 (2+15) BB között lesz. 2/4 alapon ez -$52 és +$68 között várható eredményt jelent. 34% a valószínűsége annak, hogy vagy 17 BB-nél többet nyerünk, vagy 13 BB-nél többet vesztünk.

A standard hiba – mit várhatok hosszabb távon?

A standard hiba (standard error, SE) az átlag körüli variancia másik mérőszáma.

SE = SD / SQRT( mintaszám )

Mint a képletből is látható, minél nagyobb a mintaszám, annál kisebb a standard hiba, tehát annál pontosabban be lehet határolni a várható kilengést. Az SE és az SD közötti különbség az, hogy míg az SD arról ad felvilágosítást hogy a következő mintánál (100-as session) milyen BB/100-at várhatunk, addig az SE azt mondja meg, hogy a következő, ugyanakkora számosságú sorozatnál mit várhatunk.

Példa: 100 000 leosztás van az adatbázisomban, a nyerési rátám 2.2 BB/100, az SD = 15.15 BB/100.

3 * SE = 3 * 15.15 / SQRT( 100 000 / 100 ) = 1.4

Ez azt jelenti, hogy a 99.97% a valószínűsége annak, hogy a következő 100 000 leosztás során a nyerési ráta valahol 2.2 - 1.4 = 0.8 és 2.2 + 1.4 = 3.6 BB/100 közé esik. Mint látható még 100 000 leosztásnál is elég nagy a bizonytalanság. Ha csak 10 000 leosztásunk lenne, akkor a tartomány ‑2.3 és +6.7 BB/100 közé esne! Ezért mondjuk azt, hogy a pókert hosszabb távon szabad csak nézni, soha nem rövid távon. És 10 000 leosztás az bizony még nem hosszú táv.

Másik példa: 27 000 leosztás van az adatbázisomban, a nyerési rátám 4.7 BB/100, az SD = 17.5 BB/100.

3 * SE = 3 * 17.5 / SQRT( 27 000 / 100 ) = 3

Ez alapján:

99.97%-ig biztos, hogy a hosszú távú nyerési rátám 1.7 BB/100 és 7.7 BB/100 közötti

95%-ig biztos, hogy a hosszú távú nyerési rátám 2.7 BB/100 és 6.7 BB/100 közötti

66%-ig biztos, hogy a hosszú távú rátám 3.7 BB/100 és 5.7 BB/100 közötti

A t-teszt – tényleg nyerő játékos vagyok-e?

Ez a kérdés mindenkit érdekel aki pókerezik, hiszen tudjuk, hogy az aktuális nyerés vagy vesztés nagymértékben a szerencsének (lapjárás) is köszönhető. A kérdés megválaszolására a W.S. Gossett –féle "one-sample one-tailed t-test" használható. Ezt eredetileg a Guinness-sörök gyártásánál használt sörélesztő minőségének tesztelésére dolgozták ki, de most már ennél jóval szélesebb körben is használják. A matematikai részletekbe most ne menjünk bele. Az alábbi táblázatból kikereshető annak a valószínűsége, hogy valóban nyerő játékosok vagyunk-e:

Win       75% 80% 85% 90% 95% 99%

0.5       467 726 1101 1683 2772 5545

1.0       117 182 276 422 694 1389

1.5       52   81   123 188 310 619

2.0       30   46   70   106 175 350

2.5       19   30   45   69   113 225

3.0       14   21   32   48   79   157

3.5       10   16   24   36   58   116

4.0       8    12   18   28   45   90

Példa a használatra: ha a jelenlegi átlagunk 3 BB/100, és azt akarjuk tudni, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy tényleg 2 BB/100 fölöttiek vagyunk. A kettőt ki kell vonni egymásból, ez 3 – 2 = 1. Ha 95%-os bizonyossággal akarjuk ezt tudni, akkor az 1.0 sor és a 95% oszlop metszéspontjában található számot (694) szorozzuk meg ezerrel (694 000). Ennyi leosztásra (mintára) van legalább szükség ahhoz, hogy 95%-ig biztosak lehessünk abban, hogy tényleg 2 BB/100 fölött teljesítünk.

A táblázatból látható, hogy minél kisebb bizonyossággal akarjuk tudni, és minél nagyobb különbséget elfogadunk jelenlegi nyerési rátánkhoz képest, annál kisebb mintaszámra van szükség. És fordítva: minél kisebb a mintaszám, annál nagyobb bizonytalansággal tudjuk csak megmondani a valódi nyerési rátát. 12 000 leosztás esetén például csak 80%-ig lehetünk abban biztosak, hogy a hosszú távú, valódi nyerési rátánk nem tér el 4 BB/100-nál jobban az eddigi átlagunktól. Ugyanakkor 5 és félmillió leosztás kell ahhoz, hogy 99%-os biztonsággal mondhassuk, hogy a nyerési rátánk nem tér el 0.5 BB-nél nagyobb mértékben az eddig átlagunktól.

Ha az SD jelentősen eltér 16-tól, akkor a fenti tábla kissé inadekvát lesz, de minél több leosztást nézünk ez annál kevésbé lesz szignifikáns.

... fenntartásaim

Először is, én a magam részéről én nem vagyok abban biztos, hogy a pókernyeremények eloszlása normális eloszlás. Mindazonáltal ezt a témát még nem kutatták a tudósok, úgyhogy jobb híján tételezzük fel, hogy ez a helyzet. Valószínűleg nem tévedünk nagyot. Biztosabbat csak akkor tudnánk mondani, ha a PT (vagy egy másik hasonló program) ábrázolná a session nyerések sűrűségfüggvényét. Ha az tényleg szabályos, szimmetrikus haranggörbe a legtöbb játékosnál, akkor már megalapozottan mondhatjuk, hogy normális eloszlásról van szó. (Én úgy gondolom, vagy hogy stílszerű legyek: arra fogadnék, hogy a skewness effektus nagyobb szerepet játszik, mint gondolnánk.)

Aztán, a fenti számítások, mint minden efféle statisztika, csak akkor igaz, ha sem a mi játékunk, sem az ellenfeleink játéka a vizsgált időszak alatt nem javul vagy romlik jelentősen.

Végül pedig, a fentiek csak egyetlen tényezőnek, a BB/100-nak a tiszta matematikai elemzései, és a többi paraméter nincsen benne. Mondjuk van két játékos, egyformán 20 000 leosztással, 2 BB/100-zal és egyforma szórással. Ha az egyik feszesen indul, helyesen játssza le a lapjait és ritkán megy tiltre, akkor én bizonyos vagyok abban, hogy az tényleg nyerő játékos. Ha a másiknak 40%-os flopnézése van, akkor lehet akármekkora a BB/100 meg a szórása, az nem lehet hosszabb távon nyerő játékos.

Tannhauser